Question

已知函数f(x)=|e^x-bx|,其中e为自然对数的底。

（1）若函数y=f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围。
（2）当b﹥0时，判断函数y=f(x)在区间（0,2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围。

Answer 1

解法一 f(x)＝0同解于g(x)＝0，因此，只需g(x)＝0有且只有一个解．即方程ex－bx＝0有且只有一个解．因为x＝0不满足方程，所以方程同解于b＝．
令h(x)＝，由h¢(x)＝＝0得x＝1．当x∈(1，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增，h(x)∈(e，＋∞)；当x∈(0，1)时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减，h(x)∈(e，＋∞)；所以当x∈(0，＋∞)时，方程b＝有且只有一解等价于b＝e．
当x∈(－∞，0)时，h(x)单调递减，且h(x)∈(－∞，0)，从而方程b＝有且只有一解等价于b∈(－∞，0)．综上所述，b的取值范围为(－∞，0)∪{e}．
解法二 f(x)＝0同解于g(x)＝0，因此，只需g(x)＝0有且只有一个即方程ex－bx＝0有且只有一个解，即ex＝bx有且只有一解．也即曲线y＝ex与直线y＝bx有且只有一个公共点．
当b＜0时，直线y＝bx与y＝ex总是有且只有一个公共点，满足要求．
当b≥0时，直线y＝bx与y＝ex有且只有一个公共点，当且仅当直线y＝bx与曲线y＝ex相切．设切点为(x0，e)，根据曲线y＝ex在x＝x0处的切线方程为： y－e＝e(x－x0)．把原点(0，0)代入得x0＝1，所以b＝e＝e．
综上所述，b的取值范围为(－∞，0)∪{e}．

Answer 2

(1)b<e 画出函数图象，用导函数求解