Question

数学问题,看图,这样做得依据,用到什么公式啊?

Answer 1

用到的公式是一个因式分解的恒等式：
x^n = (x-1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1)
你的问题是问，如何证明(1+x)^(m/n) -1 ~ m/n * x.
也就是证明 lim [(1+x)^(m/n) - 1] / x = m/n
其实还是可以用上面的公式，把1+x 换成 (1+x)^m，得到
(1+x)^(m/n) - 1 = [(1+x)^m - 1] /[(1+x)^(m*(n-1)/n) + (1+x)^(m*(n-2)/n) + ... + 1)
而(1+x)^m - 1 = x * (m+ m(m-1)/2 * x + ... + x^(m-1))(二项式展开，只要知道一次项的系数是m即可）
取极限时x = 0代入，就可以得到m/n
记f(t) = lim(x->0)[(1+x)^t - 1]/x,
上面已经证明f(m/n) = m/n，即对于有理数f(t)=t成立，由于f(t)是严格递增的，所以f(t) = t对任意实数成立，即 lim(x->0)[(1+x)^t - 1]/x = t

Answer 2

首项为1，项数是n，公比是n次根号1+x的等比数列的求和公式
或﹙x-1﹚﹙x^n＋x^n-1＋＋x^n-2＋……＋1﹚=x^﹙n＋1﹚-1
你写错了！分母第一项要去掉！

追问

就是n是分数怎么办?图上的是1/n,如果是整数这样可以,分数的话,减1减2不是得出负数了

追答

你遇到的是什么题？

追问

高数的证明题,证明(1+x)开n次方根减1~1/n*x

追答

不是做出来了吗？n不是分数哇

追问

例题,我不明白这个用了什么公式,
x-1﹚﹙x^n＋x^n-1＋＋x^n-2＋……＋1﹚=x^﹙n＋1﹚-1

你说的这个我明白,但n为分数时该怎么算我不懂,我就想问这个

追答

把x换为n次根号1+x

Answer 3

公式是一个因式分解的恒等式：
x^n = (x-1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1)

也就是证明 lim [(1+x)^(m/n) - 1] / x = m/n
其实还是可以用上面的公式，把1+x 换成 (1+x)^m，得到
(1+x)^(m/n) - 1 = [(1+x)^m - 1] /[(1+x)^(m*(n-1)/n) + (1+x)^(m*(n-2)/n) + ... + 1)
而(1+x)^m - 1 = x * (m+ m(m-1)/2 * x + ... + x^(m-1))(二项式展开，只要知道一次项的系数是m即可）
取极限时x = 0代入，就可以得到m/n
记f(t) = lim(x->0)[(1+x)^t - 1]/x,
上面已经证明f(m/n) = m/n，即对于有理数f(t)=t成立，由于f(t)是严格递增的，所以f(t) = t对任意实数成立，即 lim(x->0)[(1+x)^t - 1]/x = t