Question

椭圆问题

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 左右焦点为F1(-1,0) F2(1,0) P为椭圆上一点，M在PF1上，F1M=2MP,PO垂直F2M,求e的取值范围 过程及思路，谢谢

Answer 1

取点N(2，0)
在三角形F1PN中，有：F2M//PN
因F2M⊥OP，则：PN⊥OP
本题也就是说：以ON为直径的圆(x－1)²＋y²=1必须与椭圆x²/a²＋y²/b²=1相交，
由这两个方程组成方程组，消去y后，利用判别式大于0，得到关于a、b的不等式，再利用b²=a²－1代入，求出a的范围，从而得到e的范围。

Answer 2

用椭圆的参数方程来解。

设P的坐标是(a cos t, b sin t)。注意椭圆的半焦距是1，所以

a^2-b^2=1

此时M的坐标是

((2a cos t - 1)/3, (2b sin t)/3)

把垂直条件代入之后，得到

a^2 cos^2 t - 2a cos t + b^2 sin^2 t = 0

把b^2 = a^2 - 1的关系代入上式，化简得到(a - cos t)^2 = 1。但是a>=1，所以

a = 1 + cos t

并且cos t > 0。所以离心率是

1/a = 1/(1 + cos t) >= 1/2

即，1/2 <= e < 1

Answer 3

Answer 4

no