Question

数学数列问题

已知数列｛an｝的通项公式为an=|n-13|,那么满足ak+ak+1+......+ak+19=102的整数k有几个？分别是？

Answer 1

解：∵an=|n-13|，∴an= 13-n    n≤13 n-13    n＞13   ，

∴当n≤13时，{an}的前n项和为Sn=25n-n2 2 ，

当n＞13时，{an}的前n项和为Sn=1 2 (n2-25n+312)

满足ak+ak+1+…+ak+19=102，即ak+ak+1+…+ak+19=Sk+19-Sk-1=102，k是正整数

而Sk+19=1 2 [(k+19)2-25(k+19)+312]=1 2 （k2+13k+198）

①当k-1≤13时，Sk-1=-1 2 k2+k-13，

所以Sk+19-Sk-1=1 2 （k2+13k+198）-（-1 2 k2+27 2 k-13）=102，解之得k=2或k=5

②当k-1＞13时，Sk-1=1 2 [(k-1)2-25(k-1)+312]=1 2 （k2-27k+338）

所以Sk+19-Sk-1=1 2 （k2+13k+198）-1 2 （k2-27k+338）=102，解之得k不是整数，舍去

综上所述，满足条件的k=2或5

故答案为：2或5