Question

已知函数f(x)=根号3sinωx+cos(ωx+π/3)+cos(ωx-π/3)(ω>0)

(1)求函数的值域 （2）若函数的最小正周期为π/2，则当x∈[0，π/2]时，求函数的单调递减区间

Answer 1

1
f(x)=√3sinωx+cos(ωx+π/3)+cos(ωx-π/3)(ω>0)
=√3sinwx+coswxcosπ/3-sinwxsinπ/3+coswxcosπ/3+sinwxsinπ/3
=√3sinwx+2coswxcosπ/3
=√3sinwx+coswx
=2(√3/2*sinwx+1/2*coswx)
=2sin(wx+π/6)
f(x)的值域为[-2,2]
2
∵函数的最小正周期T=π/2
∴2π/w=π/2 ∴w=4
∴f(x)=2sin(4x+π/6)
由2kπ+π/2≤4x+π/6≤2kπ+3π/2,k∈Z
得 kπ/2+π/12≤x≤kπ/2+π/3,k∈Z
∵x∈[0，π/2]
取k=0,得[0，π/2]上的递减区间 [π/12,π/3]

Answer 2

用和差公式分解合并原式
有f(x)=根号3sinωx+cos(ωx+π/3)+cos(ωx-π/3)
=根号3sinωx+cosωxcosπ/3-sinωxsinπ/3+cosωxcosπ/3+sinωxsinπ/3
=根号3sinωx+cosωx
再用辅助角公式
根号3sinωx+cosωx
=根号[（根号3）^2+1^2]*(根号3/2sinωx+1/2cosωx)
=2sin(ωx+π/6)
故此函数的值域是[-2,2]
ω>0且若函数的最小正周期为π/2故ω=4原函数是2sin（4x+π/6）其在 π/2+2πk=<4x+π/6=<3π/2+2πk（k为整数）时单调减函数
解得π/12+πk/2=<x=<π/3+πk/2（k为整数）
也就是在π/12到π/3时是减函数