Question

已知函数f(x)=x^2-2sinθ*x+sinθ在[0,1]上有最小值-1/4,求cos2θ的值。

Answer 1

f(x)=x²-2sinθ*x+sinθ
f'(x)=2x-2sinθ=2(x-sinθ) -1≤sinθ≤1
1，当-1≤sinθ≤0时，f'(x)>0，即f(x)在[0,1]上单调递增
那么f(x)min=f(0)=sinθ=-1/4，所以cos2θ=1-2sin²θ=1-1/8=7/8；
2，当0<sinθ≤1时，f'(x)在[0,sinθ)上小于0，在(sinθ,1]上大于0
那么f(x)在[0,sinθ)上单调递减，在(sinθ,1]上单调递增
所以f(x)min=f(sinθ)=sin²θ-2sin²θ+sinθ=sinθ-sin²θ=-1/4
所以sin²θ-sinθ-1/4=0，sinθ=(1±√2)/2
而0<sinθ≤1，所以此时sinθ不存在，舍去。
综上所述，sinθ=-1/4，cos2θ=7/8

追问

非常感谢你的回答，答案完全正确!
我还没有学导数，能否不用导数解释一下，加你20分，略表谢意！

追答

f(x)=x²-2sinθ*x+sinθ
=(x-sinθ)²+sinθ-sin²θ
二次函数f(x)的开口向上，对称轴为x=sinθ
1，对称轴x=θ∈[-1,0]，那么f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)min=f(0)=sinθ=-1/4；
2，对称轴x=sinθ∈(0,1]，那么f(x)在[0,sinθ)上单调递减，在(sinθ,1]上单调递增
所以f(x)min=f(sinθ)=sinθ-sin²θ=-1/4
实际上过程和上面用导数做时一样的，只不过这次是以二次函数f(x)的图像的对称轴
位置为出发点来考虑的……最终还是上面那个结果

Answer 2

f(x)=x²-2sinθx+sinθ=﹙x-sinθ﹚²＋sinθ-sin²θ
1当-1≤sinθ＜0时，f(x)在[0,1]上单调递增
那么f(x)min=f(0)=sinθ=-1/4，所以cos2θ=1-2sin²θ=1-1/8=7/8；
2，当0≤sinθ≤1时，f(x)min=sinθ-sin²θ=-1/4
∴sin²θ-sinθ-1/4=0，sinθ=(1±√2)/2
∵0<sinθ≤1
∴舍去。
故sinθ=-1/4，cos2θ=7/8