已知函数f(x)=x^2-2sinθ*x+sinθ在[0,1]上有最小值-1/4,求cos2θ的值。
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f(x)=x²-2sinθ*x+sinθ
f'(x)=2x-2sinθ=2(x-sinθ) -1≤sinθ≤1
1,当-1≤sinθ≤0时,f'(x)>0,即f(x)在[0,1]上单调递增
那么f(x)min=f(0)=sinθ=-1/4,所以cos2θ=1-2sin²θ=1-1/8=7/8;
2,当0<sinθ≤1时,f'(x)在[0,sinθ)上小于0,在(sinθ,1]上大于0
那么f(x)在[0,sinθ)上单调递减,在(sinθ,1]上单调递增
所以f(x)min=f(sinθ)=sin²θ-2sin²θ+sinθ=sinθ-sin²θ=-1/4
所以sin²θ-sinθ-1/4=0,sinθ=(1±√2)/2
而0<sinθ≤1,所以此时sinθ不存在,舍去。
综上所述,sinθ=-1/4,cos2θ=7/8
f'(x)=2x-2sinθ=2(x-sinθ) -1≤sinθ≤1
1,当-1≤sinθ≤0时,f'(x)>0,即f(x)在[0,1]上单调递增
那么f(x)min=f(0)=sinθ=-1/4,所以cos2θ=1-2sin²θ=1-1/8=7/8;
2,当0<sinθ≤1时,f'(x)在[0,sinθ)上小于0,在(sinθ,1]上大于0
那么f(x)在[0,sinθ)上单调递减,在(sinθ,1]上单调递增
所以f(x)min=f(sinθ)=sin²θ-2sin²θ+sinθ=sinθ-sin²θ=-1/4
所以sin²θ-sinθ-1/4=0,sinθ=(1±√2)/2
而0<sinθ≤1,所以此时sinθ不存在,舍去。
综上所述,sinθ=-1/4,cos2θ=7/8
追问
非常感谢你的回答,答案完全正确!
我还没有学导数,能否不用导数解释一下,加你20分,略表谢意!
追答
f(x)=x²-2sinθ*x+sinθ
=(x-sinθ)²+sinθ-sin²θ
二次函数f(x)的开口向上,对称轴为x=sinθ
1,对称轴x=θ∈[-1,0],那么f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=sinθ=-1/4;
2,对称轴x=sinθ∈(0,1],那么f(x)在[0,sinθ)上单调递减,在(sinθ,1]上单调递增
所以f(x)min=f(sinθ)=sinθ-sin²θ=-1/4
实际上过程和上面用导数做时一样的,只不过这次是以二次函数f(x)的图像的对称轴
位置为出发点来考虑的……最终还是上面那个结果
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f(x)=x²-2sinθx+sinθ=﹙x-sinθ﹚²+sinθ-sin²θ
1当-1≤sinθ<0时,f(x)在[0,1]上单调递增
那么f(x)min=f(0)=sinθ=-1/4,所以cos2θ=1-2sin²θ=1-1/8=7/8;
2,当0≤sinθ≤1时,f(x)min=sinθ-sin²θ=-1/4
∴sin²θ-sinθ-1/4=0,sinθ=(1±√2)/2
∵0<sinθ≤1
∴舍去。
故sinθ=-1/4,cos2θ=7/8
1当-1≤sinθ<0时,f(x)在[0,1]上单调递增
那么f(x)min=f(0)=sinθ=-1/4,所以cos2θ=1-2sin²θ=1-1/8=7/8;
2,当0≤sinθ≤1时,f(x)min=sinθ-sin²θ=-1/4
∴sin²θ-sinθ-1/4=0,sinθ=(1±√2)/2
∵0<sinθ≤1
∴舍去。
故sinθ=-1/4,cos2θ=7/8
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