Question

设有关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，若a是从区间【0,2】任取的一个数，b是从区间【0,3】任取

求没有实根的概率，几何概型，为什么用a^2,b^2建系得出来的答案与用a,b建系结果不一样

Answer 1

我不懂建系是什么，仅从我对该题的理解，提供一些参考：
△=4(a^2-b^2)=4(a+b)(a-b)，在a<b时无实数根
当a∈[0,2]，b∈[0,2]时，a≥b与a<b取值概率均等，无解的概率为P1=0.5
当a∈[0,2]，b∈[2,3]时，a<b恒成立，无解的概率为P2=1
综合，无解的概率为P=2/3*0.5+1/3*1=2/3
若以a^2, b^2为变量，则有a∈[0,4], b∈[0,9]
无解概率为P=4/9*0.5+5/9*1=7/9
产生差异的原因在于：
所谓的a，b在区间上任取，但应该只能取有限个值，否则若可取无限个值的话，这两个区间（或者这四个区间）是没有任何区别的，既然都是无限，则a，b的大小无从比较，或者说非要比较的话，他们一个比另一个大或小的机会均等，即有解无解的概率均等，均为0.5
若只能取有限个值，则产生差异的原因在于，a在[0,2]中任取≠a^2在[0,4]中任取，因为平方之后，若取有限个数，则[0,4]的取值范围要比[0,2]大一些，差异可能就产生在这里

个人意见，仅供参考

Answer 2

以a为X轴，b为Y轴建立直角坐标系，作直线X=2和Y=3的图像，两条直线相交，与X轴Y轴所构成的矩形即为可行域。若一元二次方程有实根只需4a^2-4b^2大于等于0，做出4a^2-4b^2=0的图像。因为a大于等于0，b大于等于0，所以化简得a=b,即作出a-b=0的图像，与可行域相交，取点代入得a-b大于等于0位于直线a-b=0的上方，与可行域构成一边长为2的等腰直角三角形，计算得三角形面积为2，矩形面积为6，所以三角形面积/矩形面积=2/6=1/3,所以P(方程有实数根）=1/3,所以P(方程没有实数根）=1-1/3=2/3.
因为用a^2,b^2建系，a,b围均扩大,所以不同

追问

用a^2,b^2建系错在哪里了

追答

因为a在【0.2】，所以a^2在【0.4】之间，因为b在【0.3】之间。所以b^2在【0.9】之间，这两个取值范围均扩大