Question

求下图中的极限

Answer 1

先求极限：
lim [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]^x，x→0
=lim e^ln {[(a^(1/x)+b^(1/x))/2]^x}
=lim e^{x*ln [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]}
因为e^x关于连续
故原式=e^lim {x*ln [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]}
以下针对
lim {x*ln [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]}
=lim ln [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]} / (1/x)
明显该极限为0/0型，根据L'Hospital法则：
原式=lim {[2/((a^(1/x)+b^(1/x))]*(1/2)*[lna*a^(1/x)+lnb*b^(1/x)]*(-1/x^2)} / (-1/x^2)
=lim [lna*a^(1/x)+lnb*b^(1/x)] / [a^(1/x)+b^(1/x)]
=lim [lna*(a/b)^(1/x)+lnb] / [(a/b)^(1/x)+1]，x→0
=(lna+lnb)/2
则，
lim [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]^x=e^[(lna+lnb)/2]
再根据归结原则，
lim [(a^(1/n)+b^(1/n))/2]^n，n→0
=e^[(lna+lnb)/2]
有不懂欢迎追问

Answer 2

令an=√(3√……√3)，n个√首先an>0，对任意的n数学归纳法： a1=在上式取极限：n→∞ lim a(n+1)^2-3 lim an=0 a^2-3a=0 a=3