Question

请帮忙解一道高三数学题

已知抛物线的顶点时坐标原点o，焦点F在x轴正半轴上，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，且满足向量OA×向量OB=-3
1、求抛物线的方程
2、在x轴负半轴上一点M（m,0），使得∠AMB是锐角，求m的取值范围
3、若P在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值范围是[-2,2]，且向量PA×向量PB=16，点Q是以AB为直径的圆与准线的一个公共点，求点Q的纵坐标的取值范围

Answer 1

第一问应该没有问题吧，有定理（最好背下来）过焦点的直线与抛物线焦点的横纵坐标的表达式：x1x2=p^2/4, y1y2= - p^2 （用韦达定理易得） 可知 p=2
第二问 AB: y=k(x-2) 代入 y^2=4x 可知 x1+x2=2+4/k^2 y1+y2=4/k
MA=(x1-m,y1) MB=(x2-m,y2)
角AMB是锐角等价于MA*MB>0
所以 x1x2-m(x1+x2)+m^2+y1y2>0
将x1x2 , y1y2 , x1+x2 ,y1+y2 代入上式，化简可知
2k^2+4
m*------------------ <m^2-3
k^2
2k^2+4 3
---------->m- --------
k^2 m
左面>2,要使该式恒成立，只需右面<=2

3
m- --------<=2
m
又m<0
可得m<=-1
第三问
设P点纵坐标为p
PA=(x1+1,y1-p) PB=(x2+1,y2-p)
PA*PB=x1+x2+x1x2+1+y1y2-p(y1+y2)+p^2=4/k^2+p^2-4p/k=16

（这儿很重要）可得1/k=(p±1)/2

当1/k=(p+1)/2时
设Q点纵坐标为q

qA=(x1+1,y1-q) QB=(x2+1,y2-q)
QA*QB=x1+x2+x1x2+1+y1y2-q(y1+y2)+q^2=4/k^2+q^2-4q/k=0 。。。。。。。。1式
把1/k=(p+1)/2代入1式

可得(p+1)^2+y^2-2q(p+1)=0
(q-(p+1))^2=0
q=p+1 q属于（-1,3）

同理1/k=(p-1)/2时
有q=p-1 q属于(-3,1)

综上q属于（-3,3）

不知结果对不对

追问

第三问不对！

Answer 2

多年以前的事情了~哎~

Answer 3

太难了