Question

已知函数f(x)=(a/(a^2-2))*(a^x-a^-x) 其中，a>0且a不等于1，在R上是增函数，求a的取值范围。

Answer 1

a^x-a^(-x)很容易证明是奇函数
奇函数在(-无穷大,0)与(0,+无穷大)上的单调性相同,所以只需讨论x>0时的情况
设x1>x2
分为3类讨论
1.0<a<1,[a^x1-a^(-x1)]-[a^x2-a^(-x2)]=[a^x1-a^x2]-[a^(-x1)-a^(-x2)]
=[a^x1-a^x2][1+1/a^(x1+x2)]
a^x1-a^x2<0,1+1/a^2(x1+x2)>0
所以a^x-a^(-x)为减函数,a/(a^2-2)<0,所以函数为增函数

2.1<a<√2,[a^x1-a^(-x1)]-[a^x2-a^(-x2)]=[a^x1-a^x2]-[a^(-x1)-a^(-x2)]
=[a^x1-a^x2][1+1/a^(x1+x2)]
a^x1-a^x2>0,1+1/a^2(x1+x2)>0
所以a^x-a^(-x)为增函数,a/(a^2-2)<0,所以函数为减函数,不满足条件

3.√2<a,[a^x1-a^(-x1)]-[a^x2-a^(-x2)]=[a^x1-a^x2]-[a^(-x1)-a^(-x2)]
=[a^x1-a^x2][1+1/a^(x1+x2)]
a^x1-a^x2>0,1+1/a^2(x1+x2)>0
所以a^x-a^(-x)为增函数,a/(a^2-2)>0,函数为增函数

综上
0<a<1或√2<a

Answer 2

f(x)=(a/(a^2-2))*(a^x-a^-x)
f'(x)=(a/(a^2-2))*[a^x+a^(-x)]lna>0 a>0 a不等于1
由于a^x+a^(-x)>>0所以只要:
alna/(a^2-2)>0
只需(a^2-2)/a * lna>0
a^2-2)/a>0 lna>0 or (a^2-2)/a<0 lna<0
a(a-根号2)(a+根号2)>0 且lna>0 or a(a-根号2)(a+根号2)<0 且lna<0
a>根号2 or aE(-根号2,0)且a>1 or aE(0,根号2) or a<-根号2 且a<1
得: a>根号2 or aE(0,1) or a<-根号2
由于a>0
所以:a>根号2 or aE(0,1)

追问

y=(a^x-a^-x) 求导是根据公式吗？ 得出的结果不是y=[a^x-a^(-x)]lna吗？

追答

是根椐公式:
y=a^x
y'=a^xlna
如是:y=(a^x-a^-x)
y=a^xlna-a^(-x)*(-1)*lna=a^xlna+a^(-x)lna=[a^x+a^(-x)]lna
注意a^(-x)'中,不要忘了它是-x 与a^x的复合函数.

Answer 3