Question

利用三角函数线证明：|sina|+|cosa|>=1

Answer 1

 

如图sina表示图中的y，cosa表示图中的x

     但是他们有方向，就是有正负

    |sina|   |cosa|  就没有方向了，他们就是表示长度y、x

  在单位圆中可以看出：三角形的两边之和大于第三边。即x+y>1

 当角a的边落在坐标轴上时取等号。

所以有|sina|+|cosa|>=1

Answer 2

证明：
在平面直角坐标系中，
设角a的终边与单位圆交于点P.
作垂线PH⊥x轴于点H.

因点P在单位圆上，故|OP|=1
由三角函数线定义可知：
|sina|=|PH| |cosa|=|OH|

在RtΔPOH中，由三角形三边关系，可得：
|PH|+|OH|＞|OP| （两边的和大于第三边。）

把上面结果代入，可得：
|sina|+|cosa|＞1

Answer 3

因为 |sina|, |cosa|均为非负，所以只需要证明当a在第一象限时不等式成立就可以了。
此时不等式变为
sina+coa>=1,

证明：
sina+cosa=2^(1/2)(sina*2^(-1/2)+cosa*2^(-1/2))
=2^(1/2) (sina cos(pi/4)+cosa sin(pi/4))=2^(1/2)sin(a+pi/4)
因为 0=<a<=pi/2, 所以 pi/4=<a+pi/4<=3pi/4,
在这个区间里面， sin 的最小值是 sina(pi/4)或者 sin(3pi/4)，也就是 2^(-1/2)
因此
(sina+cosa)min=2^(1/2)sin(a+pi/4)min=2^(1/2)*2^(-1/2)=1
所以 sina+cosa>=1
证毕！

Answer 4

|sina|+|cosa|就是等于三角函数线中的两直角边相加除以斜边，大于1.