Question

在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，∠ACC1=60°，∠BCC1=45°，侧棱CC1的长为1

则该三棱柱的高等于（ ）A.1/2 B.√2/2 C.√3/2 D.√3/3
答案是A，做错的、不会的勿入。求详细过程，谢谢！

Answer 1

这种题目一定要画图，可惜我画的图向来不能看，只好纯描述了。

在我的解法中，把面ABC置于底面（其实A1B1C1做底面也可以，你觉得哪个方便就用哪个），过点C1做底面ABC的垂线并与底面ABC交于点H，易知线段C1H是三棱柱的高。

过点H做AC的垂线并与AC交于点D，因为C1H⊥面ABC，所以C1H⊥AC，而DH⊥AC，所以AC⊥面C1HD，所以AC⊥C1D。又因为∠ACC1=60°，CC1=1，所以CD=1/2，C1D=√3/2

同样的过点H做BC的垂线并与BC交于点E，也可得BC⊥C1E，又因为∠BCC1=45°，CC1=1，所以CE=√2/2，C1E=√2/2

而由DH⊥AC，EH⊥BC，∠ACB=90°，可知四边形CDHE为矩形，所以DH=CE=√2/2，EH=CD=1/2

所以三棱柱的高C1H=√（C1D^2-DH^2）=√(C1E^2-EH^2)=1/2，即选项A