Question

若函数f(x)=根号下ax^2-ax+1/a的定义域是一切实数。则实数a的取值范围是

Answer 1

f(x)=√(ax²-ax+1/a) 定义域为一切实数 1/a => a≠0
即 ax²-ax+1/a≥0 恒成立
则：
a>0 //保证图像开口向上，向下显然不行
delta=(-a)²-4a(1/a)=a²-4≤0 //保证ax²-ax+1/a=0无解或仅一个解，图像没有位于x轴下方的部分
解得
0<a≤2
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Answer 2

ax^2-ax+1/a>=0
x^2-x+1/a^2>=0
x^2-x+1/4+1/a^2-1/4>=0
(x-1/2)^2-(1/4-1/a^2)>=0
1/4-1/a^2<=0
(1/2+1/a)(1/2-1/a)<=0
-2<=a<0和0<a<=2

Answer 3

首先a≠0
其次，函数定义域为R，即ax^2-ax+1/a≥0恒成立。
二次函数要恒成立，所以△≤0，即a²-4*a*1/a≤0，解得0＜a≤2

Answer 4

由于整式中有1/a，所以a≠0
故根式中是一二次函数
为使定义域为一切实数，那么必有ax^2-ax+1/a≥0在R上恒成立
∴a>0
Δ=a^2-4≤0
所以a∈（0，2 ]

判别式小于等于零才能让抛物线不在x轴下面，也就是说抛物线上所有点都满足y≥0
这是抛物线很基础的问题

Answer 5

f(x)=√(ax²-ax+1/a) 定义域为一切实数 1/a => a≠0
即 ax²-ax+1/a≥0 恒成立
则：
a>0 //保证图像开口向上，向下显然不行
delta=(-a)²-4a(1/a)=a²-4≤0 //保证ax²-ax+1/a=0无解或仅一个解，图像没有位于x轴下方的部分
解得
0<a≤2
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