Question

求下列微分方程的解(1) (x+y)dy+(x-y)dx=0 (2)ylnydx+(x-lny)dy=0 (3) y'=(2-x+y)^2 (4)y''=3*y^(1/2)

要具体过程,解答后2个即可

Answer 1

求下列微分方程的解
(1) .(x+y)dy+(x-y)dx=0
解：(x+y)dy=(y-x)dx，故dy/dx=(y-x)/(y+x)=(y/x-1)/(y/x+1)...........(1)；
令y/x=u，即y=ux；因为dy/dx=u+xdu/dx；于是方程(1)变为：
u+xdu/dx=(u-1)/(u+1)；也就是xdu/dx=(u-1)/(u+1)-u=-(u²+1)/(u+1)；
分离变量得[(u+1)/(u²+1)]du=-(1/x)dx，即有udu/(u²+1)+du/(u²+1)=-(1/x)dx；
也就是有(1/2)d(u²+1)/(u²+1)=-(1/x)dx；
积分之得(1/2)ln(u²+1)=-lnx+lnC₁=ln(C₁/x)
于是得√(u²+1)=C₁/x，将u=y/x代入即得√[(y/x)²+1]=(1/x)√(x²+y²)=C₁/x
化简得√(x²+y²)=C₁，故原方程的通解为x²+y²=C，其中C=C²₁
(2)ylnydx+(x-lny)dy=0
解：dx/dy=(lny-x)/ylny=1/y-x/ylny
即有dx/dy+x/ylny=1/y............(1)
为了求(1)的解，先考虑方程：dx/dy+x/ylny=0..........(2)
将方程(2)分离变量，得dx/x=-dy/ylny=-d(lny)/lny
积分之得lnx=-lnlny+lnC₁=ln(C₁/lny)
故得x=C₁/lny，将任意常数C₁换成y的函数u，即有x=u/lny..........(3)，
故dx/dy=[(lny)(du/dy)-u/y]/(lny)²=(du/dy)(1/lny)-u/(yln²y).........(3′)
将(3)和(3′)代入(1)式得：
(du/dy)(1/lny)-u/(yln²y)+u/(yln²y)=1/y
于是得(du/dy)(1/lny)=1/y
分离变量得du=lnydy/y=lnyd(lny)
积分之得u=(1/2)ln²y+C，代入(3)式即得x=[(1/2)ln²y+C]/lny，这就是原方程的通解。
(3) y'=(2-x+y)²
解：dy/dx=4+x²+y²-4x+4y-2xy
dy/dx-y²-2(2-x)y=(2-x)²............(1)
先考虑方程dy/dx-y²-2(2-x)y=0

(4)y''=3*y^(1/2)
解：

追问

回答有点小问题，不过思路很对，但重要的是后2个

追答

(4)y''=3y^(1/2)
解：设y′=dy/dx=p，则y′′=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy)
代入原式得p(dp/dy)=3y^(1/2)
分离变量得pdp=3[y^(1/2)]dy
积分之得(1/2)p²=2y^(3/2)+(1/2)C₁
p²=4y^(3/2)+C₁
故p=√[4y^(3/2)+C₁]
于是得dy/dx=√[4y^(3/2)+C₁]
dy/√[4y^(3/2)+C₁]=dx
下面的问题就是求解这个积分。
(3) y'=(2-x+y)²
解：令2-x+y=z，两边对x取导数得-1+dy/dx=dz/dx，即有dy/dx=1+dz/dx，代入原式得：
1+dz/dx=z²，即有dz/dx=z²-1；
故dz/(z²-1)=dx，积分之得∫dz/(z²-1)=(1/2)∫[1/(z-1)-1/(z+1)]dz
=(1/2)[ln(z-1)-ln(z+1)]=x+(1/2)C
即有ln[(z-1)/(z+1)=2x+C，将z=2-x+y代入即得原方程的通解为：
ln[(1-x+y)/(3-x+y)]=2x+C.

追问

（3）如何积分

追答

(4)y''=3y^(1/2)
解：设y′=dy/dx=p，则y′′=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy)
代入原式得p(dp/dy)=3y^(1/2)；分离变量得pdp=3[y^(1/2)]dy；积分之得(1/2)p²=2y^(3/2)+2C₁
p²=4y^(3/2)+4C₁；故p=2√[y^(3/2)+C₁]
于是得dy/dx=2√[y^(3/2)+C₁]；dy/√[y^(3/2)+C₁]=2dx；
令y=u²，则dy=2udu，代入上式得：2∫udu/√(u³+C₁)=2X+C₂；
(有事离开，待续，请勿中断答题程序)