Question

已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前n项和sn满足an+1+Sn-1=sn+1

已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前n项和sn满足a(n+1)+S(n-1)=Sn+1 （n≥2，n∈N*） (1)求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式；（2）设Tn为数列{1/anan+1}的前n项和，求Tn；（3）若Tn≥λan+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ大的最小值

Answer 1

（1）证明
a(n+1)+S(n-1)=Sn+1
∴a(n+1)=an+1
∴an为等差数列，公差为1
an=n+1
解
（2）1/ana(n+1)=1/(n+1)(n+2)=1/(n+1)-1/(n+2)
Tn=1/2-1/(n+2)=n/2(n+2)
(3)n=1时，Tn(min)=1/6，Tn(max)=1/2，n为正无穷
Tn恒大于零，
题目问的不大好，如果λ可以为负数，恒成立，就没有最小值了

下面讨论λ的最小非负数值
令f(n)=Tn-λan+1=1/2-1/(n+2)-(n+2)λ≥0恒成立
λ≤n/2(n+2)^2
此时也是随n的递减
恒成立的话，n取正无穷，则λ=0

Answer 2

（1）∵a(n+1)+S(n-1)=Sn+1
∴a(n+1)-1=Sn-S(n-1)=a(n) a(n+1)-a(n) =1
是等差数列，通项公式：a(n)=2+(n-1)=n+1
(2) {1/[(n+1)(n+2)]} Tn=1/(2*3)+1/(3*4)+……+1/[(n+1)(n+2)]
=1/2-1/(n+2)
(3) 1/2-1/(n+2)≥λ(n+2) λ≤[1/2-1/(n+2)]/(n+2)=1/[2(n+2)]-1/(n+2)^2=n/[2(n+2)^2]
即比实数λ大的最小值是：n/[2(n+2)^2]

Answer 3

1.因为a(n+1)+S(n-1)=Sn+1 （n≥2，n∈N*），所以Sn-S(n-1)=a(n+1)-1=an，即a(n+1)-an=1，所以数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列。2.{1/[(n+1)(n+2)]} Tn=1/(2*3)+1/(3*4)+……+1/[(n+1)(n+2)]
=1/2-1/(n+2)
3 . 1/2-1/(n+2)≥λ(n+2) λ≤[1/2-1/(n+2)]/(n+2)=1/[2(n+2)]-1/(n+2)^2=n/[2(n+2)^2]
即比实数λ大的最小值是：n/[2(n+2)^2]

Answer 4

（1）
∵a(n+1)+S(n-1)=Sn+1 ，
∴a(n+1)=Sn+1-S(n-1)=an+1
∴an为等差数列，公差为1
∴an=n+1
（2）
1/ana(n+1)=1/(n+1)(n+2)=1/(n+1)-1/(n+2)
Tn=[1/2-1/3]+[1/3-1/4]+....+[1/n-1/(n+1)]+[1/(n+1)-1/(n+2)]=1/2-1/(n+2)=n/2(n+2)
（3）
∵Tn≥λan+1对一切n∈N*恒成立,且an=n+1,Tn=n/2(n+2)
∴n/2(n+2)≥λ(n+1)+1
∴λ≤-(n+4)/(2n²+6n+4)
要使λ≤-(n+4)/(2n²+6n+4)=F(n)只要λ≤F(n)的最小值
F(n)=-(n+4)/(2n²+6n+4)，n∈N*
-1/F(n)=2(n-1)+12/(n+4)，可以看出2(n-1)+12/(n+4)在n∈N*单调递增，值域[2.4,+∞）
∴1/F(n)值域(-∞,-2.4]
∴F(n)值域-[5/12,0）
∴λ≤F(n)的最小值,即λ≤-5/12
∴λ的最大值为-5/12
你有没有搞错!