Question

求y=(3-x)^2/1-x^2(0<x<1)的最小值

Answer 1

y=(3-x)^2/(1-x^2)
= (9-6x+x^2)/(1-x^2)（分离）
= -1+2(5-3x)/(1-x^2),
令5-3x=t>0, 则 x=(5-t)/3, 代入
y= -1-18t/(t^2+16-10t)
= -1-18/(t+16/t-10)
>= -1-18/(8-10)
=8
当且仅当 t=16/t, 即x=1/3时取等号
当x=1/3 时，有最小值8.

Answer 2

设t=3-x
∵x∈（0,1） ∴t∈（2,3）
y=f（t）
=t²/(-t²+6t-8)
=1/(-8/t²+6/t-1)
=1/[-8(1/t-3/8)²+1/8]
当t=8/3∈（2,3）时，-8(1/t-3/8)²+1/8取得最大值1/8……（1）
且t∈（2,3）时，y>0
∴当t=8/3，即x=1/3时，y取得最小值ym=8

PS、必须做y>0判断，否则（1）这一步中，取得最大值时不一定为y最小值，因为负数更小。
y>0，由y=(3-x)^2/1-x^2 （0<x<1)更好判断。