Question

微分方程的特解和微分方程满足初始条件的特解有什么区别。

在求满足初始条件时还要先求出整个的通解再带么。 谢谢了 ~

Answer 1

微分方程的特解是指满足微分方程的一个解，它有很多个。满足初始条件的特解是指既满足微分方程，又满足初始条件的那一个特解。
求满足初始条件的特解时，不是先求出整个的通解再代入初始条件，而是相反。往往是定出解的结构，用与微分方程对应的微分方程（例如对应的齐次微分方程）的通解作为通解的一部分，再找出本方程的一个特解，把二者相加求得本微分方程的通解。具体特解的求法，各不相同，有的假设成具有对应通解的形式，有的再加上某一函数，有的假设为一定形式。具体情况具体分析。

Answer 2

某小伙失恋想不开站在五楼女儿墙上，正准备一跃而下。你不能见死不救，你最先想到的是露营用的气垫床，现在你已经知道你的气垫床能承受的最大负荷了能够承受得了下坠的冲击力，你要计算那个小伙跳下来的时间，那么初始V0=0，t0=0，s0=0这就是初始条件。你只是计算了速度方程，v=gt+c,运动方程s=(1/2)*g*t^2+c1t+c2，现在初始条件派上用场了，带进去算出来，c1=0,c2=0,那么v=gt，s=(1/2)*g*t^2，又恰好那栋楼是你的远亲设计的，知道高度，接下来就以你绝顶聪明的大脑飞快的口算，得出了下坠到地面的时间，在看了一下你到坠落点距离，你知道以你的冲刺速度没有问题……，
首先你要明白微分方程解出来得到的是什么，微分方程解出来得到的相当于被积函数的原函数族，也就很多很多个能满足所求的被积函数的原函数，这就叫通解，那么在给定的某个初始条件下，这些解就只有一个是满足这个条件的了，比如说重力加速的g,那么现在给你的只有重力加速度，要你求自由落体的速度，则dv/dt=g,这个就叫微分方程，那么它的解是v=∫gdt解得，v=gt+c,这就叫通解，那么这个通解所表示的是任意时间下的速度方程，与初始速度没有关系。这个就没有办法描述某个特定的自由落体运动（因为不知道你在开始计时之前它是静止的还是运动的），上例就是通过初试条件求得的运动方程和速度方程，这就叫在初试条件下的特解，如果给的不是初试条件，而是某个位置的条件，如t=5,s=10,v=20带进去同样也能得到速度和运动方程，也叫特解。明白了吗
最后小伙没跳……