Question

f(z)=z的共轭复数除以z,问f(z)的解析情况? 为什么在任何点都不解析

Answer 1

f(x+yi)=(x-yi)/(x+yi)=(x²-y²-2ixy)/(x²+y²)
U=(x²-y²)/(x²+y²) V=-2xy/(x²+y²)
U对x的偏导数为4xy²/(x²+y²)²
V对y的偏导数为-2(x²-y²)/(x²+y²)²

两者不相等，不符合解析条件

追问

当2(x²-y²)=4xy²时，不就相等了

追答

还需要一个条件
U对y的偏导数等于 -( V对x的偏导数)
U对y的偏导数为-4x²y/(x²+y²)²

V对x的偏导数为-2(x²-y²)/(x²+y²)²

还需要 -4x²y=2(x²-y²)
联合条件 2(x²-y²)=4xy²
满足C-R条件只有 x=y=0
但x=y=0 不能套用上面那些 偏导数了 （这些 偏导数在x=y=0 处极限 不存在）

在零点，实际上f(z)是没有定义的
从y轴方向逼近零点过程 中f(z)=-1
从x轴方向逼近零点过程 中f(z)=1