Question

高数，高斯公式。例二。第二页第一行为什么等于0以及之后的解题过程解释一下。





Answer 1

∫∫∫(x+y+z)dv=∫∫∫xdv+∫∫∫ydv+∫∫∫zdv=0+0+∫∫∫zdv
前两项利用三重积分的对称性可得
∫∫∫xdv=0,(因为被积函数关于x为奇函数，积分域关于yoz面对称）；
∫∫∫ydv=0,(因为被积函数关于y为奇函数，积分域关于xoz面对称）。
∫∫∫zdv=∫dθ∫ρdρ∫zdz（θ的下限为0,上限为2π;ρ的下限为0,上限为h;z的下限为ρ,上限为h)
=2π∫ρ(h²/2-ρ²/2)dρ(ρ的下限为0,上限为h)
=1/2πh^4

Answer 2

这是因为把积分扩充为一个封闭曲面上积分时，由高斯公式积分等于零。而附加的曲面积分（Z<=0部分)由于函数是z的偶函数，恰等于原积分的两倍。

追问

第二张图片第一行为什么积分等于零？？？

追答

在计算体积分，由于上下两个部分上差一个负号，相互抵消。所以不出现关于z的积分。