Question

若定义在r上的函数fx对任意x1.x2属于r都有f(x1+x2)=fx1+fx2-1成立，且当x>0时，fx>1

1.求证gx=fx-1为奇函数
2.求证fx在r上是增函数
3.若f（4）=5解不等式f（3m^2-m-2）<3

Answer 1

1、证明：令x2=0，则f(x)=f(x)+f(0)-1，得：f(0)=1
那么，f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)-1，有[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0，即g(x)+g(-x)=0对于任意的x∈R成立
所以，g(x)=f(x)-1为奇函数

2、证明：任取x1>x2，假设x1-x2=Δx>0，则f(x1)-f(x2)=f(x2+Δx)-f(x2)=f(x2)+f(Δx)-1-f(x2)=f(Δx)-1
因为当x>0时，f(x)>1，所以f(Δx)-1>0恒成立，故f(x1)>f(x2)
所以，f(x)是R上的增函数

3、解：f(4)=2f(2)-1=5，得：f(2)=3，故f(3m²-m-2)<f(2)
因为f(x)是R上的增函数，所以3m²-m-2<2，解得：-1<m<4/3

Answer 2

(1) 令x1=x2=0,得到f(0)=1. 令x1=x,x2=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-1=1,即f(x)-1=-(f(-x)-1),即f（x）-1为奇函
数
(2) 令x1=x, x2=-y，x,y属于R，且x>y,即x-y>0,由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1
可知：f(x-y)=f(x)+f(-y)-1>1
由(1)知f（x）-1为奇函数，则f(-y)-1=-(f(y)-1),上式可化为：f(x-y)=f(x)+f(-y)-1=f(x)-(f(y)-1)>1,
即f(x)-f(y)>0. 所以f（x）在R上的增函数。
(3) 因为f（4）=5，令x1=x2=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3；所以f(3m²-m-2)＜3=f(2), 另外，
由(2)可知f（x）在R上的增函数,所以3m²-m-2<2，解得-1<m<4/3

Answer 3

是不是打错题目了 中间不是减号麽？？？

追问

是减号啊

追答

是减？？？？？？