Question

已知集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x,y）}|x+ay=1},C={(x,y)|x²+y²=1},问，

已知集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x,y）}|x+ay=1},C={(x,y)|x²+y²=1},问，（1）当a取何值时，（A∪B）∩C为含有两个元素的集合？（2）当a取何值时，（A∪B）∩C为含有三个元素的集合

Answer 1

1,记椭圆与Y轴的一个交点为A,根据椭圆的性质知，角F1AF2>60°

所以 1/2<e<1

2,记长半轴为b，短半轴为a

三角形F1PF2的面积S=1/2cos60°·PF1·PF2

由三角形的性质知cos60°=√3/2

=(PF1²+PF2²-F1F2²)/(2PF1·PF2)

=[(PF1+PF2)²-F1F2²]/(2PF1·PF2)-1

=2a²/(PF1`PF2)-1

所以PF1`PE2=2a²/(√3/2+1)将其带入S中，唯一的变量为a,故得证。

Answer 2

解：（1）,如果a=0，A∪B）∩C={（x，y）：（0,1）、（1,0）}，含两个元素
如果a≠0，直线x+ay=1和x+ay=1都不能平行于x轴
（A∪B）∩C中有一个元素（0.1），需要增加一个元素的话，还需要A或B与C有且有一个共同元素。由于直线ax+y=1与x+ay=1不可能平行x轴，必须两线重合，得到-a=-1/a→a=1或-1.
综合有a=0、1或-1时，（A∪B）∩C为含有两个元素的集合。
（2）根据上面的分析，直线ax+y=1和+ay=1不重合时，，（A∪B）∩C含三个元素，及有：
a≠0、1和-1时，A∪B）∩C为含有三个元素的集合。
结合图形思考！

Answer 3

（1）当a=1时，ax+y=1和x+ay=1是同一条直线，
x+y=1与x²+y²=1有二个交点，满足A∪B）∩C为含有两个元素的集合
当a=0时，y=1，x=1，与x²+y²=1有二个交点，也满足A∪B）∩C为含有两个元素的集合
（2）当a=-1时，二直线平行，有四个交点，不合
要想（A∪B）∩C为含有三个元素的集合ax+y=1和x+ay=1分别过定点（0，1）、（1，0）
第三个点是x=y与x²+y²=1的交点，即（√2/2，√2/2）或（-√2/2，-√2/2）
故得a=√2-1或a=-√2-1

Answer 4

解：,如果a=0，A∪B）∩C={（x，y）：（0,1）、（1,0）}，含两个元素
如果a≠0，直线x+ay=1和x+ay=1都不能平行于x轴
（A∪B）∩C中有一个元素（0.1），需要增加一个元素的话，还需要A或B与C有且有一个共同元素。由于直线ax+y=1与x+ay=1不可能平行x轴，必须两线重合，得到-a=-1/a→a=1或-1.
综合有a=0、1或-1时，（A∪B）∩C为含有两个元素的集合。
根据上面的分析，直线ax+y=1和+ay=1不重合时，，（A∪B）∩C含三个元素，及有：
a≠0、1和-1时，A∪B）∩C为含有三个元素的集合。

Answer 5

A x=(1-y)/a B x=(1-ay) A并B (1-y)/a 并 a(1-ay）/a 如果把A带入C得到一个二元集（2个元素a,y）如果把B带入C得到一个三元集(3