Question

如图在平面直角坐标系xoy中，三角形ABC的两个定点AB在X轴上

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在抛物线上是否存在异于B,C的点M，使三角形MBC中BC边上德高为 7根号2 ? 若存在请求出点M的坐标

Answer 1

解：（1）设|OA|=M，|OB|=5M，|OC|=5M，由△ABC的面积S△ABC=15有：（1/2）*（|OA|+|OB|）*|OC|=（1/2）*（M+5M）*5M=15，解之得：M=1，M=-1（舍去），故A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（5，0）、（0，-5），因为A、B、C三点均在抛物线上，故有：0=a*（-1）的方+b*（-1）+c———①，0=a*（5的方）+b*5+c———②，-5=a*0的方+b*0+c———③，解①、②、③得：a=1，b=-4，c=-5，所以此抛物线的函数表达式为：Y=X的方-4X-5；
（2）令Y=N，则有N=X的方-4X-5，即：X的方-4X-5-N=0，由韦达定理有：X1+X2=4，X1*X2=-5-N，即：（X1+X2）的方=16———④，-4X1*X2=20+4N———⑤，④+⑤有：（X1-X2）的方=36+4N———⑥，由题意有：|X1-X2|=N，代入⑥得：N的方-4N-36=0，解之得：N=2+2倍的（根号下10），N=2-2倍的（根号下10）（舍去），故正方形的边长为2+2倍的（根号下10）；
（3）假设存在点M（P，Q），使三角形MBC中BC边上的高为 7倍的根号2，则过B、C两点的直线方程为：X-Y-5=0，根据题意有：7倍的根号2=|P-Q-5|/根号下 [1的方+（-1）的方]，即：|P-Q-5|=14———⑦，又因为M（P，Q）在抛物线上，故有：Q=P的方-4P-5———⑧，解⑦、⑧得：P1=-2，Q1=7；P2=7，Q2=16，所以M点的坐标为（-2，7）或者（7，16），所以，在抛物线上存在异于B,C的点M，使三角形MBC中BC边上的高为 7倍的根号2 。

Answer 2

确定抛物线的式子是y=ax2+bx+c（a≠0），好像带不出数来