Question

设函数f(x)=ax²+bx+1(a≠0,b∈r),若f(-1)=0,且对任意实数x∈r不等式f(x)≥0恒成立，求a，b的值

Answer 1

f(-1)=a-b+1=0;b=a+1;
所以 f(x)=ax^2+(a+1)；
对任意实数x∈r不等式f(x)≥0恒成立，故f(x)图开口向上，即a>0;
对f(x)求导，可得f(x)最低点坐标为（－（a+1）/2a，－（a-1）^2/4a）
[－（a-1）^2/4a]>=0;
而又a>0;故－（a-1）^2/4a=0;
a=1,b=2

Answer 2

当a=0时，f(x)是一次函数，对后面的条件不成立了。
所以f(x)是二次函数且和x轴只有一个交点，就是x=-1的时候。
a-b+1=0和(b的平方-4a)=0 解出来就是答案了。
a=1 b=2

Answer 3

对任意实数x∈r不等式f(x)≥0恒成立，又因为f(-1)=0
所以可以断定f(x)的顶点即是（-1，0）.
对称轴 x=-b/2a=-1。
把（-1，0）代入函数得f(-1)=a-b+1=0
a=1
b=2