Question

如图，以知在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点N、P分别为AC、BC上一点，NP、AB的延长线交于点F.

(1)若BF=根号2PC，求证：PA=PF;(2)在（1）的条件下，若点P为BC的中点，求PN/PF的值;

Answer 1

已知，△ABC是等腰直角三角形，
过点P作PM∥AB，交AC于点M；
则△CMP是等腰直角三角形，
可得：CM = CP ，MP = (√2)PC = BF ，∠AMP = 180°-∠CMP = 135°= ∠PBF ；
(1)
在△AMP和△PBF中，MP = BF ，∠AMP = ∠PBF ，AM = AC-CM = AB-CP = BP ，
所以，△AMP ≌ △PBF ，
可得：AP = PF ，即：PA = PF 。
(2)
因为，MP∥AB，
所以，MP/AB = CP/BC = 1/2 ，MP/AF = NP/NF ，
可得：AB = 2MP ，AF = AB+BF = 2MP+MP = 3MP ，
所以，PN/NF = MP/AF = 1/3 ，
可得：PN/PF = PN/(NF-PN) = 1/(3-1) = 1/2 。