Question

求解两道数学反函数问题，要详细直白的步骤。

y=2sin3x(-π/6<=x<=π/6)为什么解得y=1/3arcsin x/2,这里我想问的不是x与y之间的转换问题，是想问一下这个结果是通过什么公式出来的，请高手分析一下谢谢。
还有y=2^x/2^x+1为什么解得x=log2 x/1-x，这一道又是运用什么公式，请帮忙解决一下。

Answer 1

函数y=f（x）的反函数求解过程是先反解，用y表示x，得到x=f-1(y),然后调换x、y的位置，得到其反函数y=f-1(x)
因此第一题，先解出 x=1/3arcsin(y/2),再调换x、y的位置即得到反函数为y=1/3arcsin(x/2)
同理，第二题，先反解出x=log2(y/(1-y)),再调换x、y的位置，得到反函数y=log2(x/(1-x))
对于求y=f(ax+b)的反函数，也是类似，先反求x：
ax+b=f-1(y)
=>x=(f-1(y)-b)/a,再调换x、y位置，得到y=f(ax+b)的反函数是y=[f-1(x)-b]/a.
注意不是y=f-1（ax+b）

追问

您好我想您理解错了，我是想问2sin3x怎么变成1/3arcsin x/2的，同理第二道也是。如果会的话，请帮一下忙。

追答

y=2sin3x => y/2=sin3x => arcsin(y/2)=3x => x=1/3arcsin(y/2)再结合之前的回答。。

y=2^x/(2^x+1) => 1/y=(2^x+1)/2^x=1+1/2^x =>(1-y)/y=1/2^x =>y/(1-y)=2^x
=>x=log2(y/(1-y))
都是反算的。求反函数就是将反算结果的x换成y，y换成x。

追问

非常谢谢您的回答，再问您最后一点。。。第一道题中sin为什么从右边移到左边就变成arcsin了，可能我问的很幼稚，您能回答一下吗。谢谢

追答

因为y=sinx的反函数为y=arcsinx、就是说sinx和arcsinx互为反函数。y=sinx反解就是x=arcsiny
y=arcsinx 反解就是 x=siny

Answer 2

y=2sin3x(-π/6<=x<=π/6)为什么解得y=1/3arcsin x/2,这里我想问的不是x与y之间的转换问题，是想问一下这个结果是通过什么公式出来的，请高手分析一下谢谢。
还有y=2^x/2^x+1为什么解得x=log2 x/1-x，这一道又是运用什么公式，请帮忙解决一下。

求一函数的反函数要注意二个问题：
其一：解析式
∵y=2sin3x (-π/6<=x<=π/6) (-2<=y<=2)Sin3x=y/2==>3x=arcsin(y/2)==>x=arcsin(y/2)/3
∴其反函数为y= arcsin(x/2)/3 (-2<=x<=2)，(-π/6<=y<=π/6)
其二：定义域，值域要对应
即原函数的定义域与反函数值域要对应；原函数的值域与反函数定义域要对应； 二者必须符合，才能称为互为反函数，缺一不可。
第二题：∵y=2^x/(2^x+1) 其定义域为R，值域为（0，1）
==> (2^x+1)y=2^x==>2^x=y/(1-y)==>x=log(2,y/(1-y))
∴其反函数为y=log(2,x/(1-x))，定义域为（0，1），值域为R

Answer 3

kanbudong