Question

已知函数f(x)=（a+1)lnx+ax^2+1 1.讨论单调性2.设a<-1，对任意X1，x2∈（0，+∞),/f(x1)-f(x2)/≥4/x1-...

已知函数f(x)=（a+1)lnx+ax^2+1 1.讨论单调性2.设a<-1，对任意X1，x2∈（0，+∞),/f(x1)-f(x2)/≥4/x1-x2/，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=（a+1)lnx+ax^2+1
得到定义域：x>0
求导：f’(x)=(a+1)/ x+2ax

当a≥0时，f’(x) >0,则f(x)单调递增
当a≤-1时，f’(x) <0，则f(x)单调递减
当-1<a<0时：
设g(x)=xf’(x)=2ax^2+a+1,
∵x>0;∴g(x)和f’(x)同号。
此时当x≥√(-(a+1)/2a)时，g(x)≥0，则f’(x)≥0，那么f(x)单调递增
此时当0<x<√(-(a+1)/2a)时，g(x)<0，则f’(x)<0，那么f(x)单调递减.
当单调递减时，有最大值1

f'(x)=(a+1)/x+2ax=(a+1+2ax^2）/x,
对任意x1,x2∈（0，∞），都有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，
∴|[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)|>=4,
∴|f'(x)|>=4,x>0,
∴|a+1+2ax^2|>=4x,
∴a+1+2ax^2>=4x,或a+1+2ax^2<=-4x,
∴a>=(4x-1)/(2x^2+1),或a<=-(4x+1)/(2x^2+1).
设g(x)=(4x-1)/(2x^2+1),则
g'(x)=[4(2x^2+1)-4x(4x-1)]/(2x^2+1)^2
=[4+4x-8x^2]/(2x^2+1)^2
=4(1-x)(1+2x)/(2x^2+1),
0<x<1时g'(x)>0,g(x)↑；x>1时g'(x)<0,g(x)↓。
∴g(x)|max=g(1)=1.
设h(x)=(4x+1)/(2x^2+1),则
h'(x)=[4(2x^2+1）-4x（4x+1)]/(2x^2+1)^2
=4(1-x-2x^2)/(2x^2+1)^2
=4(1+x)(1-2x)/(2x^2+1)^2,
仿上，h(x)|max=h(1/2)=2,
∴a>=1,或a<=-2.
因为a<-1,故有a<=-2

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解：原函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1 ，已知：a<-1，不妨设x1>x2,且x>0。
原函数的导函数f'(x)=(a+1)/x +2ax。因为a<-1,x>0 得：
f'(x)<0，所以原函数为减函数，即f(x2)-f(x1)>0
对于不等式|f(x1)-f(x2)|>=4|x1-x2|来说，从几何的意义来理解，就是在x的定义域里，函数在
点x2上切线的斜率小于等于-4。绝对值的变换如下：
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|>=4,即：[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<=-4
根据导数的定义，以上不等式的含义为：在x定义域里，对原函数的导函数的值应小于等于-4。
得：f'(x)<=-4, 即 (a+1)/x+2ax<=-4,化简得：
2ax^2+4x+(a+1)<=0
由于a<0, 令u=2ax^2+4x+(a+1), 则函数u 是开口向下的二次抛物线函数，当x=-1/a时，函数u取
到极大值，（也是最大值）。由判别式得：4^2-4*2a*(a+1)<=0,不等式 2ax^2+4x+(a+1)<=0
恒成立，即：2-a^2-a<=0 , 即（a+2)(a-1)>=0,
所以有：a<=-2,或a>=1。a>=1与已知条件不符，舍去。
综合以上：a的取值范围为：a<=-2。

Answer 2

故事: 很多年前, 一个爸爸和一个妈妈想休假，所以他们决定晚上去城镇。他们叫来最信任一个人来照看孩子。当保姆来的时候，他们的连个孩子已经在床上睡着了。所以保姆只是看了看孩子是否睡的好，就坐下了。 深夜，保姆觉得无聊就想去楼下看电视。但是她看不了，因为楼下没有电视（因为孩子的父母不希望他们的孩子看太多垃圾）。她就打电话给孩子的父母，问是否可以在他们的卧室看电视，当然孩子的父母同意了。 但保姆又想要最后一个请求。 她问是否可以用毯子或者衣服盖住那小丑雕像，因为那使她感到很害怕。 电话沉默了一会。 （此时爸爸在和保姆通话） 他说：带孩子离开房间…… 我们将会叫警察……我们从来没有什么小丑雕像。 那小丑很可能是一个从监狱逃出来的杀人犯。 电话里沉默了一会儿。 （正在跟保姆通话的孩子的父亲）说：带上孩子们，离开房子……我们会通知警察……我们没有一个小丑雕像…… 孩子们和保姆被小丑谋杀了。 结果是，小丑是一个从监狱里逃出来的杀人犯。 如果你不在5分钟内转发这个贴子，这个小丑在凌晨3点时将会拿着刀站在你的床前。 我在这里发了，这就是恶魔般的小丑没有杀我的原因 叫戴依婷的女孩，死前是15岁.被强奸了，后来死了。变成了厉鬼。请你把这封信发给你的6个论坛，十天后，你喜欢的人就会喜欢上你。如果不发，你就晚上睡觉天天做噩梦，你就会在五十天后，被车撞死~~这是爱情连锁信，5天内必须传给人。15天后，将会有人跟你告白。你若没传出去，你的爱情将会出现问题。著始于12年，从未失误过。不发此信，将会一辈子是单身。 (对不起没办法，谁叫我看到了，这封信太毒了 ,真心道歉）