Question

已知x,y为正实数,且满足关系式x^2-2x+4y^2=0，求xy的最大值。

我知道用导数的方法， 想问一下均值不等式为什么不对
由x^2-2x+4y^2=0，得到xy=1/2x根号下2x-x^2，当x=y时取得最大值，即x=y= 1/2根号下2x-x^2 . 解得x=8/5、
求解答。谢谢

Answer 1

不知到导数是什么，但我愿意用另一种方法试试
原式可化为 x^2-2x+1+4y^2=1
(x-1)^2+4y^2=1
所以 2(x-1)2y小于等于1
所以 4xy-4y小于等于1
所以 xy小于等于0.25+y
所以易知xy的最大值为0.25+y,此时y要取最大值，
xy=0.25+y 与 x^2-2x+4y^2 组成二元二次方程组
解出方程组即可，但是我不会解，看你有没有办法
我能得出的就这些了，我看有没有其他方法

Answer 2

令xy=p
y=p/x
x^4-2x^3+4p^2=0
4p^2=2x^3-x^4=x^3(2-x)=27*(x/3)^3*(2-x)<=27*(2/4)^4=27/16
p^2<=27/64
p<=3√3/8

追问

27*(x/3)^3*(2-x)<=27*(2/4)^4怎么得来的？

追答

a+b+c+d>=4(abcd)^(1/4)
x/3+x/3+x/3+(2-x)>=4*2^（1/4）

追问

哦，明白了，那么我直接将xy用x表示， 当 x=y时取得最值为什么错了呢？

追答

(x-1)^2+4y^2=1
必须是（x-1)=（2y）才能取最值

Answer 3

(X-1)^2+(2Y-1)(2Y+1)=0得到X=1,Y=-1或Y=1，由题意可知，XY=1.