一道初中数学题，求解
（1）当△AED的外接圆与BC相切于点N、求证、点N是线段BC的中点
（2）在（1）的条件下、求折痕FG的长 展开
解一（1）当△AED的外接圆与BC相切于点N、求证、点N是线段BC的中点
证明:若圆外接于AED三角形,
因为AD垂直于DE,则该圆圆心必在AE直线中点上,
以因为AGEF为菱形,所以O即为AE中点,
当该圆与BC相切时,则由切点N到该圆圆心向一直线,则该线必须在如下特点:
该线垂直于BC直线,该线通过该圆圆心,即该线通过O点,
因为O点为AE直线中点,
所以由O点引出的垂直的于BC的直线ON,与直线AB和DC距离相等.
即该线通过BC直径的中点.所以N为BC中点.
（2）在（1）的条件下、求折痕FG的长
计算过程：因为N为BC中点，所以N为图中ENH弧中点，即圆周角α与圆周角β所对圆弧相等，
所以，圆周角α与圆周角β相等，因为圆周角ENA所对的直线是AE是圆的直径，所以
圆周角ENA为直角。圆周角α与圆周角β正切值相等，所以BN/AB=NE/AN
AB=4,BN=1,所以NE＝AN/4,
根据勾股定理
AN=(AB*AB+BN*BN)^(1/2)=(16+1)^(1/2)=17^(1/2) 注：^(1/2)即开方。
NE＝AN/4=（17/16）^(1/2)
根据勾股定理
所以AE＝（17+ 17/16）^(1/2)=(18 1/16)^(1/2)=17/4
同理根据勾定理，
DE＝（AE*AE－AD*AD）^(1/2)=(17/4*17/4-2*2)^(1/2)=(225/16)^(1/2)=3.75
因为AGEF为菱形，所以AE与EF垂直
根据同角正切值相同的原理，AD/DE=OF/OE=2OF/2OE=GF/AE,即GF/AE=2/3.75=8/15
GF=8/15AE=8/15*17/4=34/15≈2.267
解：（1）设圆相切BC于P点，则P⊥BC，在矩形ABCD中AB ⊥BC，所以OP∥AB,在菱形AGEF中，AO=OE ∴在梯形ABCE中，OP为其中位线，∴点N是线段BC的中点。
（2）从O向AB作垂线交AB于T，在圆O中R=OA=OE=OP
在矩形OPBT中，OP=BT=R PB=OT=1/2BC=1
AT^2+OT^2=AO^2
AT=AB-TB=4-R
带入可得R=17/8 OP为梯形ABCE中位线，所以2PO=EC+AB,可得EC=RB=1/4.
设EF=x,则DF=4-1/4-x
在Rt△DFA中，FA^2=DF^2+DA^2
即x^2=(15/4-x)^2+4
解得x=289/120
在Rt△FOA中AF^2=AO^2+FO^2
代入数据得(289/120)^2=(17/8)^2+FO^2
解得OF=17/15，所以FG=2×17/15=34/15
⑴如图、连接ON
∵⊙O为Rt△AED的外接圆
∴OA＝OE＝OD＝ON
∵△AED的外接圆与BC相切于点N、
∴ON⊥BC
∵∠ABC＝90º＝∠C
∴ON∥AB∥EC
∴EO∶OA＝CN∶NB
∴CN＝NB 即N为线段BC的中点
⑵设EC＝x
∵矩形ABCD，AD=2、AB=4
∴DE＝4－x
在Rt△ADE中 AD ²＋DE ²＝AE ²
∴2 ²＋﹙4－x﹚²＝AE²
∵ON∥AB∥EC 且O﹑N为EA﹑CB的中点
∴OE＝½ (EC＋AB) ＝½(x＋4)
∵OA＝OE＝ON 即AE＝2ON
∴2 ²＋﹙4－x﹚²＝AE²＝(x＋4) ²
解得 x＝1／4
有DE＝4－1／4＝15／4 OE＝ON＝½﹙¼＋4﹚＝17／8
AE＝2ON＝15／4
∵FG⊥AE于O ∠ADE＝Rt∠
在△ADE∽△FOE
∴AD∶FO＝DE∶OE
∴2∶FO＝﹙15／4﹚∶17／8
∴FO＝17／15
∴FG＝2 FO=2×﹙17／15﹚＝34／15
因为BC与圆切于点N
所以ON⊥BC
因为矩形ABCD中∠B=∠C=90,
所以ON∥CD∥AB,
因为折叠，
所以O是AE的中点
所以ON是梯形CEGB的中位线
所以N是BC的中点，
2)设CE=x,
由上得，ON是中位线
所以ON=(AB+CE)/2=(X+4)/2
所以△ADE的外接圆的直径为2ON=x+4，
又DE=CD-CE=4-X
在直角三角形ADF中，由勾股定理，得，
AE^2=AD^2+DE^2,
即(x+4)^2=2^2+(4-x)^2
解得x=1/4
所以AE=x+1/4=17/4,AO=17/8,AM=AB-BM=AB-CE=4-1/4=15/4,
过E作EM⊥AB，垂足为M,
因为菱形中，AO⊥OG
所以△AOG∽△AME
所以AO/AM=OG/EM,
即(17/8)/(15/4)=OG/4
解得OG=34/15
所以FG=2OG=68/15
