Question

一道高中数学题！

设f（x）=16x/（x²+8） ，（x＞0）
(1)求f（x）的最大值
（2）证明；对任意实数a，b，恒有f（a）＜b²-3b+5.25

Answer 1

对于第一个问题可直接求导，另到函数等于0，得到x=2根号2或x=-2根号2，所以最大值为x=2根号2的时候为2根号2
第二问其实和第一问差不多，求b²-3b+5.25的最小值，求一次导，令到函数等于0，得到b=3/2，代入函数得到最小值3>2根号2，所以对任意实数a，b，恒有f（a）＜b²-3b+5.25

Answer 2

f(x)=16x/(x^2+8)=16/(x+8/x)

x>0,x+8/x>=2根号8=4根号2
故有f(x)<=16/4根号2=4/根号2=2根号2
即f(x)的最大值是:2根号2
而b^2-3b+5.25=(b-1.5)^2+3>=3>2根号2
所以有f(a)<b^2-3b+5.25恒成立.

Answer 3

1、f（x）=16x/（x²+8）
因为 x²+8>=2*x*2根号2=4根号2*x
所以f（x）=16x/（x²+8）的最大值为：
f（x）=16x/4根号2*x=2根号2

2、 因为b²-3b+5.25=(b-1.5)²+3>=3>2根号2
f (a)<=2根号2
所以恒有f（a）＜b²-3b+5.25

Answer 4

(1):f = 16x/(x^2+8)=16/(x+8/x)<=16/(2*sqrt(x*8/x))=16/(2*2*sqrt(2))=2*sqrt(2)≈2.828；
当且仅当x=8/x时去等号。即x=2*sqrt(2);
(2):b²-3b+5.25=(b-1.5b)^2+3>=3;
f(a)<=2.828
所以，对任意实数a，b，恒有f（a）＜b²-3b+5.25。

Answer 5

上下除以x
f(x)=16/(x+8/x)
x>0则x+8/x≥2√(x*8/x)=4√2
所以0<1/(x+8/x)≤1/4√2=√2/8
所以最大值是16×√2/8=2√2

b²-3b+5.25
=b²-3b+2.25+3
=(b-1.5)²+3≥3
而f(x)最大是2√2则f(a)≤2√2
因为2√2<3
所以恒有f（a）＜b²-3b+5.25