Question

已知圆M:x^2+(y-4)^2=4,直线l的方程为x-2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A、B。

求证：经过点A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标

Answer 1

证明：
显然经过A、P、M三点的圆必过定点M(0,2),
因为MA⊥AP,所以过A、P、M三点的圆的圆心为MP中点，圆直径为MP
过M作MQ⊥直线L,垂足为Q,则过A、P、M三点的圆必过定点Q
设Q(2y0,y0)(Q在直线L:X-2Y=0上),
直线L:X-2Y=0斜率为1/2,则直线MQ斜率为[(y0)-2]/[2(y0)-0]=-2,
y0=2/5,Q坐标为(4/5,2/5)
即点P在直线运动时，经过A、P、M三点的圆
必过定点M(0,2)和Q(4/5,2/5)

追问

为什么答案好像是（8/5，4/5）和（0，2）呢

追答

我刚才方程解错了，不好意思啊，现在给你新的解答，希望得到您的采纳：
（Ⅱ）证明：设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：(x-b)2+(y-
b+4
2
)2=
4b2+(b-4)2
4
，即（2x+y-4）b-（x2+y2-4y）=0
由
2x+y-4=0x2+y2-4y=0
，
解得
x=0y=4
或
x=8/5y=4/5 ，所以圆过定点(0，4)，(8 /5 ，4 /5)　

追问

真的是（8/5，4/5）和（0，2）
你再算一下呗

追答

再算给你了，你看得懂吗？希望得到您的采纳啊

Answer 2

（3）设P（2m，m），MP的中点Q
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：(x－m)2＋
化简得：x2+y2－2y－m（2x+y－2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2－2y=0且（2x+y－2）=0，
解得或
所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或