Question

二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．

（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的1.25倍时，求a的值．

Answer 1

1）设 y=ax^2+bx+c ，将A、B坐标代入可得 a+b+c=0 且 c= 1 ，
因此 y=ax^2-(a+1)x+1 ，
由于对称轴为 x=(a+1)/(2a)<0 ，所以，-1<a<0 ， （1）
又 极值 [4a-(a+1)^2]/(4a)>0 ，因此 -(a-1)^2/(4a)>0 ，所以 a<0 ， （2）
由（1）（2）可得，a 的取值范围是 -1<a<0 。
2）因为 SAMC=1/2*|AC|*yM ，SABC=1/2*|AC|*yB ，
所以，由已知得 yM=1.25*yB ，
即 [4a-(a+1)^2]/(4a)=1.25 ，
化简得 a^2+3a+1=0 ，
解得 a=(-3+√5)/2 。（舍去 (-3-√5)/2 ，因为它小于 -1）

Answer 2

把A、B两点代入得a+b+c=0，c=1。又已顶点在第二象限，将顶点坐标公式代入得出a,b的范围，结合前面可得a范围。第二问，数形结合，画出大概图形，用几何法求解。

Answer 3

Answer 4

解：（1）将A（1，0），B（0，l）代入y=ax2+bx+c，
得：a+b+c=0c=1​，
可得：a+b=-1（2分）

（2）∵a+b=-1，
∴b=-a-1代入函数的解析式得到：y=ax2-（a+1）x+1，
顶点M的纵坐标为4a-(a+1)24a=-
(a-1)24a，
因为S△AMC=
54S△ABC，
由同底可知：-
(a-1)24a=
54×1，（3分）
整理得：a2+3a+1=0，
得：a=
-3±
52（4分）
由图象可知：a＜0，
因为抛物线过点（0，1），顶点M在第二象限，其对称轴x=a+12a＜0，
∴-1＜a＜0，
∴a=
-3-
52舍去，
从而a=
-3+
52．（5分）

（3）①由图可知，A为直角顶点不可能；（6分）
②若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；（7分）
③若设B为直角顶点，则可知AC2=AB2+BC2，
令y=0，可得：0=ax2-（a+1）x+1，
解得：x1=1，x2=1a
得：AC=1-1a，BC=12+
1a2，AB=2．
则（1-1a）2=（1+1a2）+2，
解得：a=-1，由-1＜a＜0，不合题意．
所以不存在．（9分）
综上所述：不存在．（10分）