已知函数f(x)=根号(x^2+1)-ax(a>0)讨论f(x)在(1,+无穷)上的单调性
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设任意x1＞x2＞1,则：
f(x1)-f(x2)=√(x1²+1)-ax1-√(X2²+1)+ax2
=(x1²-x2²)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]-a(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))-a]
又因为x1＞x2＞1,即x1-x2＞0,
x1+x2＜(√(x1²+1)+√(x2²+1))
0<(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))<1
当a>1时f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))-a]<0 f(x)为减涵数.
当0<a<(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))时,
f(x1)-f(x2)=√(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))-a]>0 f(x)为增涵数.
f(x1)-f(x2)=√(x1²+1)-ax1-√(X2²+1)+ax2
=(x1²-x2²)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]-a(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))-a]
又因为x1＞x2＞1,即x1-x2＞0,
x1+x2＜(√(x1²+1)+√(x2²+1))
0<(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))<1
当a>1时f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))-a]<0 f(x)为减涵数.
当0<a<(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))时,
f(x1)-f(x2)=√(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))-a]>0 f(x)为增涵数.
更多追问追答
追问
为什么
√(x1²+1)-ax1-√(X2²+1)+ax2=(x1²-x2²)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]-a(x1-x2)
追答
√(x1²+1)-√(x2²+1
=
[√(x1²+1)-√(x2²+1]*[√(x1²+1)+√(x2²+1]除以√(x1²+1)+√(x2²+1)
=(x1²+1)-(x2²+1)除以√(x1²+1)+√(x2²+1)
=(x1²-x2²)除以[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
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