Question

数列{an}满足递推式an=3an-1+3^n-1（n大于等于2），其中a3=95

（1）求a1，a2
（2）是否存在一个实数x，使得{an+x/3^n}为等差数列
（3）求数列{an}的前n项之和

Answer 1

1. an=3an-1+3^n-1
n=3 a3=3a2+3^2 95=3a2+9 a2=86/3
n=2 a2=3a1+3 86/3=3a1+3 a1=77/9
2.
an=3an-1+3^n-1 两边同时除以3^n，得
an/3^n=a(n-1)/3^(n-1)+1/3
数列{an/3^n}是等差数列 首项=a1/3=77/27 公差d=1/3
所以存在x=0使
得{an+x/3^n}为等差数列

3. an/3^n=a1/3+(n-1)d=77/27+(n-1)/3=n/3+68/27
an=(9n+68)*3^(n-3)

追问

an=（3an-1）+（3^n）-1

追答

1. an=3an-1+3^n-1
n=3 a3=3a2+3^3-1 95=3a2+26 a2=23
n=2 a2=3a1+3^2-1 23=3a1+8 a1=5

2. 设an=3an-1+3^n-1 变为
(an+x)/3^n=(a(n-1)+x)/3^(n-1)+1
则 an+x=3a(n-1)+3x+3^n
所以2x=-1 x=-1/2
所以存在x=-1/2使得{an+x/3^n}为等差数列
首项(a1-1/2)/3=3/2 公差d=1
(an-1/2)/3^n=3/2+(n-1)d=n+1/2
an-1/2=(n+1/2)*3^n
an=(n+1/2)*3^n+1/2

3. 求和分两部分（1）(n+1/2)*3^n
（2） 1/2
(1) S1=3/2*3+5/2*3^2+7/2*3^3+……+(2n+1)/2*3^n
3S1= 3/2*3^2+5/2*3^3+……+(2n-1)/2*3^n+(2n+1)/2*3^(n+1) 相减
-2S1=9/2+(3^2+3^3+……+3^n)-(2n+1)/2*3^(n+1)
-2S1=9/2+9(1-3^(n-1))/(1-3)-(2n+1)/2*3^(n+1)
=9/2+3(3^n-3)/2-(2n+1)/2*3^(n+1)
S1=n*3^(n+1)/2
S2=n/2

数列{an}的前n项之和=n*3^(n+1)/2+n/2