Question

，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=√3 ，PB=5，PC=2，

，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=√3 ，PB=5，PC=2，
求△ABC的面积。

Answer 1

解答如下：

Answer 2

首先作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ与△ACP相似比为2，继而可得△APQ与△BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质，即可求得△ABC的面积．解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，
则△ABQ∽△ACP，
∴AB=2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2，
∴AQ=2AP=2 3 ，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵AQ：AP=2：1，
∴∠APQ=90°，∠AQP=30°，
∴PQ= AQ2-AP2 = (2 3 )2-( 3 )2 =3，
∴BP2=25=BQ2+PQ2，
∴∠BQP=90°
作AM⊥BQ于M，
由∠BQA=∠BQP+∠AQP=120°，
∴∠AQM=60°，QM= 3 ，AM=3，
∴AB2=BM2+AM2=（4+ 3 ）2+32=28+8 3 ，
∴S△ABC=1 2 AB•ACsin60°= 3 8 AB2=6+7 3 2 ．