(a+b)(a²+b²-1)=2,a>0,b>0,求证a+b≤2
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由基本不等式，2ab≤a²+b²
所以 (a+b)²=a²+2ab+b²≤2(a²+b²)
又a>0，b>0，从而 (a+b)(a²+b²-1)=2可化为
(a+b)[(a+b)²/2 -1]≤2
令 t=a+b，则
t(t²/2 -1)≤2
t³-2t-4≤0
(t-2)(t²+2t+2)≤0
因为 t²+2t+2=(t+1)²+1>0
所以 t-2≤0
即 a+b≤2
所以 (a+b)²=a²+2ab+b²≤2(a²+b²)
又a>0，b>0，从而 (a+b)(a²+b²-1)=2可化为
(a+b)[(a+b)²/2 -1]≤2
令 t=a+b，则
t(t²/2 -1)≤2
t³-2t-4≤0
(t-2)(t²+2t+2)≤0
因为 t²+2t+2=(t+1)²+1>0
所以 t-2≤0
即 a+b≤2
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