Question

求证(1+a+a2+…+an)2-an=(1+a+a2+…+an-1)(1+a+a2+…+an+1)

RT。
要有详细过程哦。还有，那个an意思是a的n次方，其他同理可得。

Answer 1

当n=1时，左边=(n+1)²-1=n(n+2)，右边=n(n+2)，左边=右边，等式成立

当n≠1时，证明如下：

综上，对于任意实数a，上述等式都成立

追问

其他我都懂了
不过话说1+a+a2+a3+……+a(n-1)=[1-a(n+1)]÷（1-a）怎么证出来的？

追答

额，首先说一下，上面分类讨论有个小错，应该是分a=1，和a≠1来讨论的，写错了……
这个就是等比数列前n项和公式啊

Answer 2

(1+a+a2+…+an)2-an
=(1+a+a2+…+a(n-1)+an)*(1+a+a2+…+an+a(n+1)-a(n+1))-an
=(1+a+a2+…+a(n-1))*(1+a+a2+…+an+a(n+1)) +an*(1+a+a2+…+an+a(n+1))
-a(n+1)*(1+a+a2+…+a(n-1))-a(2n+1)-an
=(1+a+a2+…+a(n-1))*(1+a+a2+…+an+a(n+1)) +an*(a+a2+…+an)
-a(n+1)*(1+a+a2+…+a(n-1))
=(1+a+a2+…+a(n-1))*(1+a+a2+…+an+a(n+1))+a(n+1)*(1+a+a2+…+a(n-1))
-a(n+1)*(1+a+a2+…+a(n-1))
=(1+a+a2+…+a(n-1))*(1+a+a2+…+an+a(n+1)

Answer 3

当A=1时左=右，假设结论成立，设A为K，则(1+K+K2+...+KN)2-KN=(1+K+K2+...+K2-1)(1+K+K2+...+K2+1)，当A=K+1带入化简也可得左=右，所以成立

追问

你的回答前面不是已经假设结论成立了么，后面怎么可以再用？化简？天，不可能那么麻烦吧。如果这样还要代什么k+1 啊，直接用a化简不久行了。

追答

这是高中的数学归纳法，没错的

追问

这样的啊，那得多麻烦啊，谢谢啦！