Question

高中竞赛不等式证明问题

x1，x2，...，xn为正数，x1+x2+x3+...+xn=1.求证:
x1/√(1-x1)+x2/√(1-x2)+...+xn/√(1-xn)≥(√x1+√x2+...+√xn)/√(n-1)
√表示根号
详细些，重要不等式是怎么用的

Answer 1

先是一个琴生不等式，之后是一个均值不等式（平方平均数大于等于算术平均数）

其实，减过来直接一个琴生不等式也可以的~

用琴生不等式唯一的难点在与找到一个特定的凸函数。

当然，第一步当中，看出x/根号（1-x）符合要求可能有难度 但是如下分解：

这样就利用均值不等式而跳过了琴生不等式。 分成两部分 一部分时调和小于等于平方的 一部分是算数小于等于平方的

Answer 2

你好：
首先由条件推出：(1-x1)+(1-x2)+...+(1-xn)=n-1
左=[x1/√(1-x1)+x2/√(1-x2)+...+xn/√(1-xn)]*[(1-x1)+(1-x2)+...+(1-xn)]/(n-1)
≥(√x1+√x2+...+√xn)/√(n-1)...............利用柯西不等式