Question

求证1/n+1/n+1......1/2n^2>=3/2 (n属于N*) 麻烦过程详细点，谢谢各位大神

Answer 1

你好！
“数学之美”团员448755083为你解答！

这个题目用到欧拉常数Er与调和级数的前n项和公式
1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+(1/5)+(1/6)+ ... +(1/(n-2))+(1/(n-1))+(1/n)=ln(n+1)+Er
故而有
1/n+1/(n+1)+ ...+ 1/(2n²)
=[1+(1/2)+(1/3)+... + 1/(2n²)]-[1+(1/2)+(1/3)+... + 1/(n-1)]
=ln(2n²+1)-ln(n)
=ln[(2n²+1)/n]
故而原式≥1.5等价于
ln[(2n²+1)/n]≥3/2
←→2n²+1≥e^(3/2)n←→2n²-[e^(3/2)]n+1≥0
令e^(3/2)=k构造函数
g(x) = 2x² - kx + 1 = 2(x - 0.25k)² + 1 - 0.125k²
∵2.5 < e < 3 → 9 < 15.625 < e^3 < 27 < 36 → 3 < e^(3/2) < 6
∴ 3 < k < 6
那么 0.75< 0.25k < 1.5
也就是说函数g(x)的对称轴在[0.75,1.5]之间，而这个函数式开口向上的函数，除了x=1之外对于x=n∈N*时，均处于其递增区间内，因此，如果g(1)≥0，且g(2)≥0，则对任意的n都是成立的，而g(1)≥0，g(2)≥0是否成立直接将n=1带入原式子就可以得到验证，因此，原式子对任意正整数n均成立。

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Answer 2

证明:
在n=1和n=2,n=3的时候显然成立
n>3的时候
1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n > n* 1/2n = 1/2
1/2n+1 + 1/(2n+2)+...+1/3n > n*1/3n = 1/3
1/3n+1+1/3n+2+...+1/4n >n * 1/4n = 1/4
1/4n+1+1/4n+2+...+1/5n > n*1/5n = 1/5
......
而1/2+1/3+1/4+1/5 +1/6+1/7 = 223/140 > 3/2
所以结论成立

Answer 3

这题如果猜得没错是你少抄写了题目。
因为：n=1时，左=1+1/2=3/2;
n=2时，左=1+1/2+...+1/8>3/2;
n>=3时，左=...(不写是因为少条件)