Question

已知函数f(x)=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0,1]内有最大值-5，求实数a的值

Answer 1

f(x)= -(2x-a)^2-4a ，抛物线开口向下，对称轴 x=a/2 。
以下分类讨论：
1）若 a/2<0 即 a<0 ，则 f(x) 在 [0，1] 上递减，因此最大值为 f(0)=-4a-a^2=-5 ，
所以，a^2+4a-5=0 ，(a-1)(a+5)=0 ，
因此 a= -5 或 a=1（舍去，因为它大于 0）。
2）若 a/2>1 即 a>2 ，则 f(x) 在 [0，1] 上递增，因此最大值为 f(1)= -4+4a-4a-a^2= -5 ，
所以，a^2-1=0 ，a=±1（均舍去，因为它们都比 2 小）。
3）若 0<=a/2<=1 即 0<=a<=2 ，则 f(x) 在 [0，a/2] 上递增，在 [a/2，1] 上递减，
因此最大值为 f(a/2)= -4a=-5 ，解得 a=5/4 。

综上可得，所求的 a 的值为 -5 或 5/4 。

Answer 2

f(x)=-(2x-a)^2-4a
对称轴x=a/2
(1) a/2>=1 即a>=2时 x=1 最大值=-a^2-4=-5 a=±1 舍
(2) a/2<=0 即a<=0时 x=0 最大值=-a^2-4a=-5 a=1或-5 所以a=-5
(3) 0<a<2 x=a/2时 最大值=-4a=-5 a=5/4 满足
实数a的值=-5或5/4