Question

求极限lim∑n^{1/k}/n

Answer 1

解：题目是不是漏了“k为正整数”的条件？若是，分享一种解法。用c(k+1,i)(i=0,1,……,k+1)表示从k+1中取出i个数的组合数。利用自然数1到n的k次方求和公式的递推式n^(k+1)-(n-1)^(k+1)=c(k+1,1)n^k-c(k+1,2)n^(k-1)+c(k+1,3)n^(k-2)+……-(-1)^(k+1)。对其求和，整理有n^(k+1)-(k+1)∑n^k=-c(k+1,2)∑n^(k-1)+∑c(k+1,3)n^(k-2)+……-(-1)^(k+1)n。又(1^k+2^k+……+n^k)/n^k-n/(k+1)=[(k+1)∑m^k-n^(k+1)]/[(k+1)n^k]=[c(k+1,2)∑n^(k-1)-∑c(k+1,3)n^(k-2)+……+n(-1)^(k+1)]/[(k+1)n^k]（m=1,2,……n)。按照前述递推式，k∑n^(k-1)的首项必然是n^k，而其余项的次数均比k低，∴lim(n→∞)[(1^k+2^k+……+n^k)/n^k-n/(k+1)]=1/2。供参考。