Question

已知实数a，b，c满足a*a+b*b=1,b*b+c*c=2,a*a+c*c=2,则ab+ac+bc的值是多少？

Answer 1

首先简化一下写法，a^2= a*a，同理b^2 = b*b

要用到的公式：
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)^2

因为：a^2+b^2+c^2 = (1+2+2)/2 = 2.5
所以(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =2.5 +2*（ab+ac+bc)
因为(a+b+c)^2大于等于0
所以2*（ab+ac+bc)大于等于 -2.5
所以ab+ac+bc大于等于-1.25
所以最小值是 -1.25

Answer 2

解：a²+b²=1 ①
b²+c²=2 ②
a²+c²=2 ③
①-②，得
a²-c²=-1 ④
④+③，得
2a²=1，所以a=±√2/2
同理b==±√2/2，c==±√6/2
ab+ac+bc=1/2+√3或1/2或1/2-√3

Answer 3

a*a+b*b=1 ...(1)
b*b+c*c=2 ...(2)
a*a+c*c=2 ...(3)

(2) - (1)
c*c - a*a = 1 ...(4)
(4) + (3)
2*c*c = 3
c*c = 3/2
代入(4)
a*a = 1/2
代入(1)
b*b = 1/2

a = 1/4
b = 1/4
c = (1/2) *sqrt(6);
ab+ac+bc = 1/8+(1/2) *sqrt(6);