Question

如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD,E,F分别是AD,BC边的中点,P,Q分别是对角线AC,BD的中点求证EF⊥PQ

如果AB=A,EF=B,求四边形EQFP的面积

Answer 1

 

如图，

∵P、F分别是AC、BC的中点，

∴PF∥AB且PF=AB/2，

同理EQ∥AB且EQ=AB/2，

∴PF∥EQ，且PF=EQ，

∴四边形EPFQ是平行四边形

又∵PE=CD/2=AB/2=PF，

∴四边形EPFQ是菱形，

∴EF⊥PQ

 

当AB=A，EF=B时，设EF、PQ交于O，

PE=A/2，OE=EF/2=B/2，

由勾股得OP=[根号(A²-B²)]/2

∴S菱形EPFQ=EF*PQ/2=B*[根号(A²-B²)]/2

Answer 2

证明：如图 ∵E、P分别是AD、AC的中点，
∴PE∥CD并且PE=CD/2
∴FQ∥CD，并且FQ=CD/2
∴ PE=FQ
同理可得EQ∥PF并且EQ=PF
∵AB=CD
∴PE=FQ=EQ=PF且两两平行
∴四边形FQEP是菱形
∴EF⊥PQ （菱形的对角线互相垂直平分）
设EF与PQ相交于G
则PG=√(¼a²-¼b²)=½√(a²-b²)
PQ=2PG=√(a²-b²)
∴S◇FQEP=½EF•PQ=½b•√(a²-b²)

Answer 3

（1）证明：

如图，EQ是△ABD的中位线，PF是△ABC的中位线

∴EQ∥AB且EQ=½AB

∴PF∥AB且PF=½AB

∴PF∥EQ且PF=EQ

∴PFQE为平行四边形

易得PE=½CD=½AB=PF

∴PFQE为菱形

∴EF⊥PQ

 

（2）

PG=√(¼a²-¼b²)=½√(a²-b²)

PQ=2PG=√(a²-b²)

而S◇EQFP=½EF•PQ=½b•√(a²-b²)