Question

高等数学 大神请进

Answer 1

证明：

根据题意，显然：
x(n)>0，其中n是下标
而：
x(n)=√[6+x(n-1)] > √6
因此，数列{x(n)}是具有下界的数列
另一个方面：
x(n) - x(n-1)
=√[6+x(n-1)] - x(n-1)
又∵
x(n) =√[6+x(n-1)] + x(n-1)> 0
因此：
{√[6+x(n-1)] + x(n-1)}·{√[6+x(n-1)] - x(n-1)}
=[6+x(n-1)] - x²(n-1)
= -[x(n-1)+2][x(n-1)-3]
假设x(n)>3，
显然当n=1时，x(1)=10>3
令x(k)>3，当：
x(k+1) =√[6+x(k)] > √(6+3) > 3
因此：
x(n)>3
[x(n) - x(n-1)]·{√[6+x(n-1)] + x(n-1)} < 0
∴x(n) < x(n-1)
数列{x(n)}是单调递减的
根据单调递减数列有下界必有极限，因此，数列{x(n)}极限存在！
下面求解该数列的极限
对x(n+1) = √[6+x(n)]左右两边取极限，则：
limx(n+1) =√[6+limx(n)]
令：limx(n+1) = limx(n) = A，于是：
A= √(6+A)
解得：A=3，A=-2略去，因为x(n)>0
即：
limx(n) =3

Answer 2

解：分享一种解法。
　　∵x2=[(6+x1)]^(1/2)=4<10=x1，同理，x3<x2，……，xn+1<xn，∴{xn}单调递减、且是正项数列。
　　又，(xn+1)^2-(xn)^2=6+xn-(xn)^2=(3-xn)(2+xn)，而xn+1<xn，(xn+1)^2-(xn)^2<0，∴xn>3，∴{xn}是有界数列。故，{xn}的极限存在。
　　设lim(n→∞)xn=A，则A=(6+A)^(1/2)，解得A=3，-2（负值舍去）。∴lim(n→∞)xn=3。
　　供参考。

Answer 3

3

解析：

x²=6+x
x²-x-6=0
(x-3)(x+2)=0
x=3(x=-2舍去)