Question

已知a>0,b>0求证根号a^2+c^2+根号b^2+c^2>根号a^2+b^2

Answer 1

因为
根号(a^2+c^2)+根号(b^2+c^2)
>根号(a^2)+根号(b^2)
=a+b (由(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，所以a+b=根号(a^2+2ab+b^2))
=根号(a^2+2ab+b^2)
>根号(a^2+b^2)
即 根号(a^2+c^2)+根号(b^2+c^2)>根号(a^2+b^2)，所以结论成立。

追问

根号a^2+b^2为什么等于根号(a^2)+根号(b^2)

Answer 2

解：
因为√(a²+c²)≥√a²=a，√(b²+c²)≥√b²=b
所以√(a²+c²)+√(b²+c²)≥a+b=√(a+b)²=√(a²+b²+2ab)>√(a²+b²)