Question

关于x,y的方程C：x方+y方-2x-4y+m=0。

（1）当m为何值时，方程C表示圆 （2）若圆C与直线l:x+2y－4=0相交与M,N两点，且MN=根号五分之四，求m的值。 (3) 在（2）的条件下，若定点A（1,0），点P是线段MN上的动点，求直线AP的斜率的取值范围。

Answer 1

1）方程配方得 (x-1)^2+(y-2)^2=5-m ，
所以，若方程表示圆，则 5-m>0 ，解得 m<5 。
2）圆心（0，0），半径 √(5-m) ，设 MN 中点为 P ，则 OP丄MN ，
由点到直线的距离公式得 |OP|=4/√5 ，
由勾股定理，|OP|^2+|PM|^2=|OM|^2= r^2 ，
即 16/5+4/5=5-m ，解得 m=1 。

追问

可不可以有第三问啊

追答

第二问错了。更正如下。
2）圆心C（1，2），半径 √(5-m) ，设 MN 中点为 P ，则 OP丄MN ，
由点到直线的距离公式得 |CP|=|1+4-4|/√5=1/√5 ，
由勾股定理，|CP|^2+|PM|^2=|CM|^2=r^2 ，
即 1/5+4/5=5-m ，解得 m=4 。

3）直线 x+2y-4=0 与圆 x^2+y^2-2x-4y+4=0 联立可解得 M（0，2），N（8/5，6/5）
因此 kAM=(2-0)/(0-1)= -2 ，kAN=(6/5-0)/(8/5-1)= 2 ，
因为 0<1<8/5 ，在 MN 上存在一点Q 使 AQ丄x轴 ，
所以，AP 的斜率范围是（-∞，-2 ] U [ 2，+∞）。