Question

已知关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解,则a为?

Answer 1

考察函数 f(x)=x^2+2alog2(x^2+2) ，它在 R 上为偶函数，
因此图像关于 y 轴对称 。
因为 f(x)=3-a^2 有唯一解，因此这个解一定是 x=0 ，
代入可得 2a=3-a^2 ，
解得 a= 1 或 a= -3 。
当 a=1 时，f(x)=x^2+2log2(x^2+2)>=2log2(2)=2 ，因此 f(x)=2 有唯一解 x=0 ；
当 a= -3 时，f(x)+6=x^2-6log2(x^2+2)+6 ，
因为 f(√30)+6=30-6*5+6=6>0 ，f(√14)+6=14-6*4+6=-4<0 ，
因此 f(x)= -6 至少有三个根 ，不满足，

所以，若方程有唯一解，则 a=1 。

追问

因为 f(√30)+6=30-6*5+6=6>0 ，f(√14)+6=14-6*4+6=-4<0 ，
因此 f(x)= -6 至少有三个根 ，不满足，

所以，若方程有唯一解，则 a=1 。

这三步不懂，解释一下好吗？

追答

如果一个函数 f(x) 在两个数 a 、b 处的值的符号相反，且函数在 （a，b）上处处连续，
那么 f(x)=0 在 (a，b) 内至少有一个实根 。

f(√14)0 ，所以，f(x)=0 在（√14，√30）之间至少有一个实根 。
由于 f(x) 是偶函数，由对称性，f(x)=0 在 （-√30，-√14）之间也至少有一个实根 ，
再加上 x=0 的实根 ，所以，f(x)=0 至少有三个不同实根 。

Answer 2