Question

1、如图：在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC．

1、如图：在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC．
2、写出（1）中的逆命题并证明它是真命题；
3、在△ABC中，AD为角平分线，求证AB：AC=BD:AC

Answer 1

做辅助线de垂直ab与e，df垂直ac与f

S△abd:S△acd=ed*ab:df*ac

因为ad为角平分线所以角ead=角daf，ad=ad

三角形aed与afd全等

所以ed=fd

所以S△abd:S△acd=AB:ac

判定

角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。

因此根据直线公理。

证明：已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OC平分∠AOB

证明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：

OP=OP，PD=PE

∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）

∴∠1=∠2

∴ OC平分∠AOB

Answer 2

根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE=DF，△ABD与△ACD等高，面积比即为底边的比．
解答：
证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ACD=（1/2×AB×DE）：（1/2×AC×DF）=AB：AC．

2.
如果:S△ABD：S△ACD=AB：AC。求证AD是它的角平分线.
证明:
过点D作DE⊥AB，DF⊥AC
S△ABD=1/2*AB*DE
S△ACD=1/2*AC*DF
S△ABD：S△ACD=AB：AC
∴DE=DF
∴AD是他的角平分线（点到角两边的距离相等的点在角的平分线上）
3.应该是证明:AB:AC=BD:DC吧
过A作AH垂直于BC
S(ABD)=1/2BD*AH,S(ADC)=1/2DC*AH
故S(ABD):S(ADC)=BD:DC
又有S(ABD):S(ADC)=AB:AC
故有:AB:AC=BD:DC.

Answer 3

主要用到外接圆的知识

变形即得证

Answer 4

1,过D分别作AB,AC 的垂线交AB,AC于E,F两点，三角形ABD的面积等于AB乘以DE除以2，而三角形ACD的面积等于CA乘以DF除以2，而AD为角BAC的角平分线，那么DE等于DF,故1得证
2 为1的反过程，不再赘述
3，题目大概出错了，应该是AB:AC=BD:DC

Answer 5

根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE=DF，△ABD与△ACD等高，面积比即为底边的比．证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ACD=（12×AB×DE）：（12×AC×DF），
=AB：AC．