Question

已知关于x的方程x³-ax²-2ax+a²-1=0只有一个实数根,则a的取值范围

Answer 1

记f(x)=x³-ax²-2ax+a²-1,由于f(x)是三次函数，故f(x)至少有一个零点，而题目中限制只有一个实根，故要么f(x)单调递增，要么极小值大于零。根据此思路，解答如下：

f '(x)=3x²-2ax-2a ,
由二次方程f ‘（x）=0 得Δ=4a2+24a=0；
解得a=0，或a= -6；
当Δ<0时，f ‘(x)>0恒成立，此时-6 < a <0；
当Δ=0时，若a=0, f(x)=x3 , 符合命题；
若a= -6, f '(x)=3x²+12x+12 ,由f ‘(x)=0得极值点：x=-2
带回f(x)表达式得f(x)=75>0 ，故符合命题；
当Δ>0时，a<-6,或a>0，f '(x)=3x²-2ax-2a=0的较大根x2为f(x)的极小值点，将x2带回原函数f(x2)>0,从而得到只关于a 的不等式，计算过于复杂未能算出此区间的a值。
待其它妙解。

Answer 2

三次方程只有一个实数根，那么说明函数的导数恒大于等于0或恒小于等于0
f'(x) = 3x^2-2ax-2a
这个函数要恒大于或等于0
那么判别式4a^2+24a<=0
a^2+6a<=0
-6<=a<=0

Answer 3