Question

方程ax2+bx+c=0,利用韦达定理 两根x1,x2一正一负时,为什么只需满足c/a<0,而不需要考虑判别式

Answer 1

若一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正的和一个负的实数根，其二次三项式ax²+bx+c=a(x-α）（x-β）的形式，由于α，与β异号，所以二次三项式的常数项与二次项的系数异号。所以 一元二次方程ax²+bx+c=0中，其判别式：b²-4ac＞0。其必有两个实数根，因此无须用判别式。

Answer 2

这个很好理解，因为 c/a<0 蕴含着方程一定有两个不相等的实根 ，因此无需再用判别式。
证明如下：因为 c/a<0 ，因此 c、a 异号，所以，a*c<0 ，
则判别式=b^2-4ac=b^2+4*(-ac)>0 ，所以方程一定有两个不相等的实根 。

Answer 3

x1·x2=c/a
两根x1,x2一正一负，所以x1·x2<0即c/a<0

追问

判断如下：（方程有没有实数根还不确定的情况，x1,x2是假设的）
两根为正根→△≥0 ， x1+x2=-b/a>0 ， x1·x2=c/a>0
两根为负数→△≥0 ， x1+x2=-b/a0
两根为一正一负→ x1·x2=c/a<0

我想知道为什么根为一正一负时，只需考虑c/a<0,而不考虑判别式

追答

都告诉你有X1，X2两根了

Answer 4

我认为只有当判别式>=0方程才有实数根，两根x1,x2一正一负时，说明方程有实数根，首先要考虑判别式>=0，，再考虑c/a<0,不要落下这个隐含条件。

追问

原来真的可以不用考虑判别式，但仍然感谢你的回答